李松
[摘 要] 初三复习课是统领初中所学内容，建构知识体系，提升应用知识技能的关键手段. 在复习课中教师要以问题激发学生思考，以联想启发学生思维，提高学生综合能力，催生初三复习课新的生长点.
[关键词] 问题引领;联想启发;专题复习
初三复习课是提高學生综合应用知识能力的重要途径，也是建构知识体系，深化数学本质认识的重要手段. 复习的过程不是简单地重复和记忆，是利用头脑中已有的知识经验，去提取信息、建构体系、发现和更新问题，产生新的知识结构. 初三复习课的有效性直接影响着学生在中考中的发挥，其重要性显而易见.
如何才能上好初三复习课，提高上课的效率，使学生在复习课中收获新的知识、总结思想方法、触发新的生长点，从而提高综合素养. 复习课必须规避原有的“炒冷饭”或“习题课”的误区，复习课上出新意，激发学习兴趣，才能使学生避免“听起来懂、看起来会、做起来错”的现状. 一直以来数学教师都在探索初三复习课的教学模式和教学方法，笔者认为初三复习课不能上成“新课重教”，要以问题串的形式引领学生将知识进行串联，启发学生进行联想，拓宽学生的视野，发展思维品质.
笔者以“相似三角形专题复习课”为例，谈一谈如何在复习课中激发学生的想象力，主动发现问题、提出问题，并能调动思维积极寻找解题的路径，以供大家互相交流学习.
教学过程
1. 故事导入，点燃学习激情
2021年第62届国际数学奥林匹克（IMO）竞赛中，中国国家队再创辉煌，以208分的总成绩获得团队总分第一名. 6名国家队队员全部获得金牌，再次登上IMO顶峰，获得第22次世界第一. 在历届国际数学竞赛中，中国的学生表现十分优异，经过分析发现，这些获奖学生都有一个通性，即在学习中善于发现问题并提出问题，但是反观日常的学习中，很少有学生能够主动提出问题.
师：同学们，你们怎样看待这种现象？
生1：我觉得我们每天的作业太多了，忙着写作业都来不及了，还要应付各种考试，根本没有什么时间去思考什么问题.
生2：也不是说我们只喜欢解题，是因为我们缺少去发现和提出问题的机会，日常学习中没有给我们创造这样的环境.
师：从科学的发展过程来看，发现和提出问题比解决问题更重要，听了同学们的发言，老师的感触也非常深，在课堂上应把更多的空间留给你们. 今天我们这节课希望同学们能够多多发挥创造性，主动发现和提出问题.
设计评价 课前以中国学生在国际奥林匹克数学竞赛中取得的优异成绩的故事开场，看似与课程无关，实则在思想上振奋了学生，创造了一个积极的氛围. 这样的开场让人眼前一亮，也让学生意识到本课的主题，激发了学生的积极性，在接下来的学习中学生都能踊跃发言，积极开动脑筋，全身心投入学习的状态中去.
2. 操作实践，导入课题
师：（多媒体进行展示）教师进行提问示范，现在需要在一个锐角△ABC中画一个矩形，并且这个矩形需要满足它的四个顶点都在三角形的三条边上. （教师同时也进行操作）
（学生思考并动手操作）
师：同学们可以前后观察比较一下，你们画的矩形都一样大吗？
生（众）：不一样.
师：刚才我看了一下，同学们和我画的差不多（多媒体展示），但是也出现了一些和老师画的不一样的图形，总体上老师概括了一下有五种（多媒体展示五种情况）. 你们觉得可以进行分类吗？
生3：可以分为一类是矩形一条边在BC上，如图1、图2、图3，另外一类矩形的一条边可以在AB或者AC上，如图4、图5.
师：你归纳的非常好，观察的也很仔细.
现在我们来观察一下这些矩形，从位置上看它们有什么共同的特点？
生4：矩形四个顶点都在三角形的边上，而且都在三角形的内部.
师：你们能给这些矩形取一个名字吗？
生4：我们可以仿照曾经学过的圆的内接三角形取一个名字，叫三角形的内接矩形.
师：太贴切了，而且仿照圆的内接三角形来命名，反映出你非常会类比联想，这也给我们发现和提出问题做出了很好的示范. 同学们同意这样的命名方式么？
生（众）：同意.
师：下面我们将以这个三角形的内接矩形来展开联想. （板书课题）
问题：如图6，已知△ABC的面积是48，BC的长度为12.
师：同学们想一想，根据已知条件可以求三角形的哪些未知要素呢？请你计算一下.
生：我们可以求三角形的高，如图7，高AH的长度为8.
继续展示：△ABC的内接矩形PQMN.
师：同学们观察这个三角形的内接矩形，你能根据已有的知识想到什么结论吗？
生5：我想到了△APQ和△ABC是相似三角形.
师：所以这里利用了相似三角形对应边、对应角的性质.
师：对于矩形来说，我们需要研究矩形的长和宽，你能确定如图6所示中矩形PQMN的两条边长吗？
生（众）：不能.
师：看来单单有三角形的面积和边长还不能确定矩形的边长，所以刚刚同学们画出的矩形有大有小，那么我们还需要再添加一些条件.
（1）如果PQ的长度为9，你能不能根据相似三角形的知识求出这时矩形的另一条边PN的长度.
师：请同学们自己列式并进行计算.
生6：=，即=，所以PN的长度等于2.
师：你的解题过程中应用了什么定理？
生6：应用了相似三角形对应的高的比等于相似比的性质.
设计评价 老师先提出问题进行示范，学生一边动手操作画矩形一边思考问题，培养了学生的发散思维. 通过学生联想三角形的内接圆给内接矩形取名字，联系了已学知识，又让学生感受到学习的趣味性，渗透了数学的知识迁移和类比思想. 这样的教学设计让人眼前一亮，独具特色. 接下来教师继续引导学生回顾三角形的一些性质和定理，为启发学生提问题做好铺垫. 在教学过程中从学生熟悉的问题导入，让学生由易到难、由浅入深的开展学习，使学生提高了解题的能力，总结解题方法，为接下来进一步的深入学习奠定坚实的基础.
3. 提出问题，引导探究
师：经过上面的研究我们知道了只要确定矩形的一条边，那么矩形的其他相关条件也就确定了. 因此接下来我们将条件进行一些改动：
（2）如果设PQ为x，请同学们发挥你的想象，可以根据已知条件提一些问题吗？
师：同学们在小组内进行交流，并组织好语言将问题写下来.
讨论过后，每个小组都展示了自己的问题.
第一小组：可以求矩形另一边的长度.
师：这时矩形的另一边的长度固定吗？问题可以直接解答？同学们看一看有没有方法可以改进？
第二小组：这时矩形另一边的长度是不固定的，所以我们经过讨论，用x的代数式表示矩形PQMN的另一条边PN的长度.
师：同学们注意提出问题需要考虑严谨性和周密性.
第二小组：设矩形PQMN的面积为S，周长为C，请写出S和C关于PQ的长度x的函数解析式.
师：很好，同学们已经在建立模型了，我们的提问又上升了一个层次.
第二小组：还可以求x的取值范围是什么？
学生纷纷笑起来.
师：大家笑是因为问题太简单了吗？这个问题虽然不难，但是却非常重要，因为他恰好弥补了刚才函数解析式的不足，我们不应该嘲笑这样的问题，我们应该给他鼓鼓掌.
第三小组：用含有x的代数式表示矩形PQMN的对角线PM. 当x为多少时，矩形PQMN是一个正方形？
师：你们是怎么想到的呢？
第三小组：因为要提出和矩形有关的问题，矩形有一种特殊情况就是正方形，所以我们组想到在什么情况下矩形会变成正方形，就提出了这个问题.
师：很好，这是一种从一般到特殊的研究方法，看来你们的数学研究理论已经掌握的非常好了，可以进行联想提出问题，让我们再来听一听其他小组还有问题吗？
第四小组：当x的值为多少时，矩形PQMN的面积最大呢？最大的面积是多少？
师：你们紧接着第二小组的问题，求函数的最值问题，将函数的知识进行了灵活地应用.
第四小组：当x的值为多少时，矩形PQMN的面积恰好是△ABC面积的一半？
第五小组：当矩形的一条边在三角形的边上时，P、Q分别在什么位置，矩形PQMN的面积最大？
师：很好，你们小组进一步研究了面积的问题. 同学们讲得都太好了，提出了这么多精彩的问题，让我们再为自己鼓鼓掌. （学生集体鼓掌.）
师：下面我们把大家提出的问题按照逻辑顺序进行重新排序.
学生交流讨论，得到了如下的排序结果：
①用含有x的代数式表示矩形PQMN的另一条边PN;②用x的代数式表示矩形对角线;③求x的值为多少时，矩形四条边相等;④求矩形PQMN周长C和面积S关于PQ的长度x的函数解析式;⑤求x的取值范围，并且解答矩形面积最大时，x的值;⑥当x的值为多少时，矩形PQMN的面积恰好是△ABC的一半;⑦当矩形的一条边在三角形的边上时，那么P、Q分别在什么位置可以让正方形的面积最大.
师：考虑到课堂时间有限，问题①和④由同学们自己解决，将问题③和⑥的答案写在作业纸上，在解决问题的过程中发现都利用了相似三角形对应高线之比等于相似比的性质.
设计评价 教师引导学生进行提问，首先设定了条件，设PQ为x，体现了教师对课堂的组织和指导作用，同时又尊重了学生的主体地位，将课堂还给学生，给学生思考的空间. 在整个教学活动过程中，教师提出的问题具有开放性，但同时又能把控课堂节奏，既放得开又能收得住，使学生能够跟随教师充分调动自己学习的积极性. 这样的设计过程使学生的思维得到了拓展，回忆了旧知，同时将新旧知识相联系，对解决问题的方法有了新的感悟.
4. 变式练习，生成智慧
师：同学们刚才我们提出了一系列三角形内接矩形的问题，那么对于三角形内接正方形，我们又可以提出怎样的问题呢？
变式1：如图8，已知△ABC的面积为48，BC的长度为12，如果△ABC内有小正方形组成的矩形，小正方形一共有2个，那么可以求小正方形的边长吗？
师：老师作了一个示范，你还能提出一些相关的问题吗？
生7：求并排放3个全等小正方形的边长.
师：怎么解答呢？
生7：根据相似三角形的性质和正方形四条边相等的性质，两个全等的正方形拼成的长方形长是宽的3倍，可以列出一元一次方程：3
8-x
=x. 解方程可得出长方形的长，进而求出正方形的边长.
生8：如图10，如果求并排放置n个全等小正方形的边长，即可列出方程：n
8-x
=x.
师：说得太精彩了，这是一次成功的联想和推理，现在我们把图形作了如下改变.
变式2：如图9，已知△ABC的面积为48，BC的长度为12，如果纵向放置2个全等的正方形组成的矩形内接于△ABC，那么小正方形的边长是多少？
师：怎么求这个边长呢？
生9：设PQ的长度为x，则可利用方程8-x=2x求解.
生10：老师，可以拓展到n个正方形的纵向摆放，即可列出方程8-x=nx，进而求小正方形的边长.
师：同学们的问题太精彩了，观察图11，我们改变每一层正方形的大小，我们还可以利用相似三角形的性质来求小正方形的边长.
设计评价 两道变式训练的难度不大，但是使学生从观察过程中发现了基本的建模思想，突出了本课联想的主题，学生提出问题的过程实际是调动所学知识进行综合运用的过程，首先提出问题，进而解决问题，发挥了学生的创新思维[1].
5. 拓展延伸，开阔视野
师：我们还可以观察内接正方形的大小思考：
变式3：如图12，在锐角△ABC中，BC的长度为12，△ABC的面积为48，点P和点Q分别是AB和AC边上的两个动点，并且PQ与BC平行，以DE为边，在点A的异侧，作正方形PQMN，你能提出什么问题吗？
学生思考交流，展示自己的问题.
6. 小结提升，引导反思
引导学生进行小结和反思，归纳本课知识点.
总评
这是一节开放性的课堂，让学生充分展开了想象的翅膀，但是课堂始终围绕着教学目标展开，并没有松散，这对教师的教学基本功和教学能力都是一次重大的考验. 整节课流畅自然又生动有趣，充分激发了学生探索的欲望，让课堂充满创意性. 通过联想的方法让学生既将所学知识交织成知识面，起到了复习巩固的作用，又启发了学生的智慧，发展了学生的思维能力[2].
本课以问题承载课堂，充分发挥了教师的引导作用，落实了以学生為中心的理念，给学生创造了充分的思考空间，让学生通过自己的发现提出问题并解决问题，经过变式训练进一步巩固学生的认识. 从三角形内接矩形进行联想，由三角形内接矩形再到三角形内接正方形，从静态拓展到动态，不断升级问题，锻炼学生的思维，学生的情感在师生的互动中产生碰撞，给复习课堂注入了新的活力.
总之，本节课思路清晰，独特的教学设计，为学生思维的发展搭建了广阔的平台，学生在课堂学习中提升了综合应用知识的能力，点燃了学习数学的激情.
参考文献：
[1] 钟建林. 什么样的三角形可以分成两个等腰三角形[J]. 福建中学数学，2003（07）：24-26.
[2] 项志成. 初中数学德育实践研究[J]. 数学教学通讯，2019（35）：41-42.
猜你喜欢专题复习问题引领谈中考专题复习之动态型问题的教学中学教学参考·理科版(2016年8期)2017-02-20谈中考专题复习之动态型问题的教学中学教学参考·理科版(2016年8期)2017-02-20借多维手段，促联想发展文理导航(2016年36期)2017-02-07化学“微专题”复习教学的实践与思考化学教与学(2016年12期)2017-01-06立足“有效”，回归阅读教学本来的样子文理导航(2016年33期)2016-12-19例谈问题创设在高中化学课堂教学中的应用中学教学参考·理科版(2016年9期)2016-12-15让问题引领初中数学教学中学课程辅导·教师教育（中）(2016年9期)2016-10-20论高中物理电路知识的学习方法及解题思路考试周刊(2016年79期)2016-10-13问题引领下的阶梯式综合复习课堂初探考试周刊(2016年69期)2016-09-21百分数的应用专项复习教学设计科教导刊·电子版(2016年18期)2016-07-18
